特殊関数と呼ばれる一群の関数があります。何が特殊関数かという標準的な定義はないようですが、超幾何関数ファミリー（ガウスの超幾何関数、ベッセル関数、ルジャンドル多項式やチェビシェフ多項式などの直交多項式など）や、楕円関数ファミリー（ワイエルシュトラスやヤコビの楕円関数など）を思い浮かべる方が多いかもしれません。これら2大ファミリーは比較的簡単な微分方程式を満たします。

100年以上前、パンルヴェという数学者は、微分方程式によって定義される新しい特殊関数を発見したいという動機のもと、ある「よい性質」を持った微分方程式を分類し、その結果新しい微分方程式を発見しました。それらの方程式は現在パンルヴェ方程式と呼ばれています。パンルヴェ方程式は上で挙げた特殊関数の2大ファミリーと密接な関係のある、非常に面白い方程式であることが知られています。

私が興味を持っているのは、パンルヴェ方程式及びその一般化です。ここで一般化とは、高次元化（高階化）、多変数化、離散化を想定しています。最近、パンルヴェ方程式と類似した方程式が多くの研究者によって提案されており、私はそれらを線型常微分方程式や線型差分方程式の変形理論の観点から統一的に理解したいと考えています。なぜ線型方程式の変形理論かというと、非線型方程式は分類が難しいですが、その方程式が変形理論から導出できれば非線型方程式を線型方程式でラベリングして分類することができるからです。

最近、相空間が4次元のパンルヴェ型微分方程式をそのようにして分類し、方程式の間の関係を表す「退化図式」を得ました（[1, 2, 3, 4]）。

現在は、高次元のパンルヴェ型差分及びq-差分方程式について、線型方程式の変形理論の観点から研究しています。

参考文献